Modèle d'angle de frottement interne des particules

Rapports scientifiques volume 12, Numéro d'article : 2036 (2022) Citer cet article

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Actuellement, la pression de l'industrie pour rationaliser les processus en créant leurs modèles de simulation, et donc vers une numérisation progressive, s'accroît. L'essence des modèles de simulation représentatifs de matériaux massifs est de comprendre les principes et les lois du comportement réel des particules. Le but de cette étude est donc de trouver et de quantifier les possibilités et les principes de la façon dont les particules peuvent changer leur position par rapport aux autres particules. Les possibilités de déplacement des particules ont été exprimées à l'aide de leurs trajectoires et rapports de travail spécifiques, ou valeurs d'angle de frottement interne. Cela a créé un nouveau modèle complet de l'angle de frottement interne des particules indépendamment de la taille des particules. Il permet l'interprétation des valeurs déterminées des angles de frottement interne des particules et son application dans le domaine des simulations de modèles de masse et de processus. Le modèle peut être utilisé pour déterminer la composition de base des particules en volume et les voies dominantes de leurs déplacements mutuels.

Dans le domaine de la mécanique des matériaux particulaires, il peut sembler que la question générale du déplacement des particules est résolue par l'hypothèse d'un mouvement quasi-linéaire basé sur des particules infinitésimales ou au moins suffisamment petites par rapport à l'espace dans lequel elles se déplacent. L'exemple pourrait être la contrainte de cisaillement par rapport au rapport du diamètre de la cellule de cisaillement D à la taille des particules1.

Les essais de cisaillement pour déterminer les paramètres de frottement et d'écoulement sont des méthodes très appropriées pour décrire les propriétés des matériaux particulaires2,3,4,5. Les fabricants de machines de cisaillement utilisent différentes conceptions de cellules de cisaillement et, en fonction de la taille, recommandent également différents rapports entre la taille maximale des particules et la taille caractéristique de ces cellules6,7.

Dans le test de cisaillement direct de Jenike, le plan de cisaillement n'est pas idéalement horizontal1,6. La direction de cisaillement réelle s'écarte angulairement du plan de cisaillement horizontal imaginaire. Il s'agit plus d'une zone de cisaillement que d'un plan. La taille des particules et la charge normale ont un effet significatif sur les propriétés de la zone de cisaillement. De nombreuses expériences ont été réalisées sur le test de cisaillement de Jenike, où la forme de la zone de cisaillement a été démontrée, par exemple, par balayage aux rayons X8.

L'état actuel de la recherche sur les particules permet des études plus détaillées du comportement des particules à l'aide de simulations d'éléments discrets (DEM). De nombreux travaux se sont concentrés sur la détermination efficace de la forme optimale des particules pour les processus de simulation9,10. Ces méthodes de procédés sont validées en fonction des comportements volumétriques des matériaux. Il existe une corrélation directe avec l'effet des propriétés de la forme des particules sur le comportement volumétrique et de résistance ainsi que le changement de l'angle de frottement interne11. Pour évaluer les propriétés complexes des matériaux en fonction du frottement interne, l'effet de la forme des particules sur le frottement interne peut être inclus.

Les tests de cisaillement ont fait l'objet de nombreuses recherches portant sur le DEM12. La diversité de la distribution des forces, des directions et des vitesses des particules, ainsi que l'effet de la taille des particules sur la zone de cisaillement, sa forme et sa taille ont également été démontrés à l'aide de simulations DEM13,14. Les résultats des expériences et des simulations montrent que la zone de cisaillement n'est pas un plan horizontal et que sa forme est manifestement liée aux déplacements des particules.

Un plan de cisaillement idéal serait créé par un cisaillement précis (section transversale) des particules dans une cellule de cisaillement, ou par le cisaillement de particules infinitésimales.

La dilatance dans les matériaux granulaires est un autre concept important15. La dilatation signifie ici un changement de volume qui est causé par une déformation de cisaillement quasi-statique. Reynolds a déclaré que l'angle de frottement utilisé par Rankin est une grandeur macroscopique "liée à l'arrangement des particules"16. Il a été prouvé que le frottement entre les particules est beaucoup moins important pour déterminer la résistance des matériaux granulaires en macro-dimensions que leur "arrangement"16,17,18.

L'essence même du continuum de matériaux cristallins secs appliqué aux principes des cellules de cisaillement et des rapports de taille des particules peut être davantage comprise comme le nombre de possibilités de changer la position des particules dans un élément de volume (espace) les unes par rapport aux autres.

S'il était démontré qu'une particule a un nombre limité de possibilités de changer sa position par rapport aux autres particules, alors le nombre total de changements de position de toutes les particules sera également quantifiable (final).

Cet article décrit une nouvelle perspective sur l'angle de frottement interne des particules. Le modèle proposé est basé sur une taille de particule non nulle avec une forme symétrique qui est noyable dans une sphère (formes de base).

Historiquement, il existe certaines tendances à simplifier l'interprétation du frottement interne par un angle de repos, par exemple19. Cette étude se concentre sur les effets partiels des déplacements de particules, qui peuvent se produire en tant que macro-propriétés de la matière (angle de repos, etc.).

Le travail mécanique est donné par le produit scalaire de la force et du chemin. En mécanique des particules, c'est le produit de la force externe agissant sur la particule et de l'amplitude de son déplacement. En général, une grande attention a toujours été accordée aux questions d'interactions de force entre les particules, tandis qu'une attention minimale a été accordée à la question de la détermination des trajectoires possibles des particules lorsque leur position par rapport à l'environnement change. Le fait est que pour la détermination du travail mécanique, la force et le déplacement affectent la valeur résultante du produit scalaire de la force et de la trajectoire.

L'incrément infinitésimal du travail mécanique est donné par le produit scalaire dW (1), où F est la force agissant sur la particule et ds est un vecteur de déplacement infinitésimal le long de la trajectoire de la particule. L'équation (2) s'applique alors aux vecteurs tridimensionnels.

La définition générale du frottement interne est basée sur le bilan énergétique qui décrit la capacité des particules de matière à effectuer un travail.

La situation de la Fig. 1 suppose un frottement sec (Coulomb) sans rotation réelle des corps où la force de frottement cinétique T est égale au produit du coefficient de frottement cinétique tan(φ) et de la force normale N et sa direction est opposée au glissement direction. La trajectoire des corps (particules) est donnée par leur forme.

Schéma du travail des particules lors du déplacement.

Le rapport des travaux dW1 et dW2 peut être considéré comme une tangente généralisée de l'angle de frottement interne et ce rapport peut s'écrire sous la forme suivante (voir Eq. 3) :

où α est l'angle entre les vecteurs dT et Δx ou les vecteurs dN et Δz. Le modèle de base suppose que les vecteurs de force sont parallèles aux vecteurs de déplacement si l'angle α est nul ou s'approche de la limite de zéro (Eq. 4).

Ensuite, le rapport des amplitudes de force sera égal au paramètre B

et le rapport de la taille du déplacement sera égal au paramètre C.

Résoudre le rapport défini dans Eq. (3) conduit à trois interprétations possibles du frottement qui sont données par les conditions :

Déplacements petits ou symétriques et forces de frottement plus importantes (Eq. 5)

Déplacements plus importants et forces de frottement de plus petite amplitude (Eq. 6)

Combinaison des deux (Eqs. 5 et 6)

Si nous ne connaissons pas le rapport des longueurs de déplacement des particules C, nous pouvons résoudre la situation en supposant des particules très petites (infinitésimales) (avec un rayon caractéristique R → 0). Lorsque leurs déplacements ǀǀΔxǀǀ et ǀǀΔzǀǀ sont infiniment petits, la tâche peut être définie par la limite du rapport des déplacements respectifs (Eq. 7). L'influence de la petite taille des particules fait l'objet d'articles traitant de la détermination des conditions aux limites pour la mesurabilité des échantillons sur les cisailles1,20,21.

Le rayon caractéristique R représente la taille maximale des grains. Idéalement, la forme est symétrique et sphérique, mais dans le monde réel, elle est composée d'une infinité de surfaces. Pour une représentation graphique plus simple dans cet article, la forme réelle des particules formées par des surfaces asymétriques sera remplacée par une forme sphérique.

Le paramètre qui dépend de la taille caractéristique des particules (du rayon caractéristique R) est le paramètre C (Eq. 6). Il exprime l'influence des paramètres géométriques des particules sur la valeur de l'angle de frottement interne.

Pour le cas limite d'une taille de particule proche de zéro, on peut écrire la condition existentielle du paramètre C (les déplacements ǀǀΔxǀǀ et ǀǀΔzǀǀ sont fonction de la taille de particule de rayon caractéristique R), ou avoir des particules telles que R → 0 ⇒ ǀǀΔxǀǀ → 0 ∧ ǀǀΔzǀǀ → 0. Si nous avons affaire à des longueurs de vecteurs de déplacement ǀǀΔxǀǀ et ǀǀΔzǀǀ proches de zéro, nous pouvons nous permettre de supposer que leur rapport est égal à 1.

Il en résulte que pour une taille de particule nulle, le rapport de travail dissipatif dans l'Eq. (3) n'est pas une fonction des vecteurs de déplacement, mais un rapport des grandeurs des forces. La tangente de l'angle de frottement interne (Eq. 8) est donnée par le produit du rapport des amplitudes des forces B (Eq. 5) et du rapport de l'amplitude du déplacement C = 1 (Eq. 6).

Dans des conditions idéales et pour des tailles de particules symétriques non nulles (sans déformations, dégradation des particules et humidité), des déplacements de particules se produisent dans la cellule de cisaillement tout en maintenant le volume de l'échantillon. Si le volume est constant, il est possible qu'il y ait un nombre fini de déplacements de particules possibles limités par la durée (le temps). Dans le cas d'un essai de cisaillement rotatif, il n'y a pas de contrainte de trajectoire dictée par la géométrie et les déplacements élémentaires peuvent se répéter par cycles (Fig. 2).

Déplacement de particules. (a) Position initiale du test rotatif, (b) position finale du test rotatif, (c) représentation schématique de la position initiale, (d) représentation schématique du déplacement.

L'équation (8) peut également supposer que ǀǀΔxǀǀ = ǀǀΔzǀǀ même si le rapport des longueurs C serait de 1. Cette situation est expliquée à la Fig. 3. La particule supérieure est en contact avec la particule inférieure et se décale de ǀǀΔxǀǀ = ǀǀΔzǀǀ, ou les deux particules peut décaler des mêmes valeurs de ǀǀΔxǀǀ et ǀǀΔzǀǀ.

Possibilité de valeurs symétriques des déplacements ǀǀΔxǀǀ et ǀǀΔzǀǀ.

En supposant une taille de particule nulle ou ǀǀΔxǀǀ = ǀǀΔzǀǀ, on peut aussi écrire Eq. (9) pour la contrainte de cisaillement et Eq. (10) pour la contrainte normale. On peut également supposer que la surface de cisaillement Aτ est égale à la surface normale Aσ, c'est-à-dire Aτ = Aσ = A, et donc la tangente de l'angle intérieur de frottement est généralement écrite comme Eq. (11).

En supposant que l'amplitude des forces exécutant le travail approche de zéro, nous pouvons résoudre l'équation. (3) basé de manière analogue sur la limite du rapport de l'amplitude des forces B (voir Eq. 5) avec la condition de l'amplitude des forces s'approchant de zéro. Les particules de matière ne sont déplacées que par des forces externes dans l'environnement (affectant d'autres particules). Les particules de matière se déplacent, par exemple, en passant à travers les interstices entre les particules. Les particules traversent et le frottement fluctue (transitions entre frottement statique et cinétique, ou effet slip-stick) en raison de l'irrégularité des surfaces formées par les particules lorsque les particules se déplacent entre elles.

Si nous avons affaire à des magnitudes de forces vectorielles ǀǀdTǀǀ et ǀǀdNǀǀ proches de zéro, ou si l'angle de frottement interne φ → 0 ⇒ ǀǀdTǀǀ ≈ ǀǀdNǀǀ (fluide parfait/fluide non visqueux), nous pouvons nous permettre d'introduire une hypothèse similaire à celle utilisée dans la section " Déplacements faibles ou symétriques et forces de frottement de plus grande amplitude", à savoir que le rapport de l'amplitude des forces B est égal à 1, ou

Il s'ensuit que la tangente de l'angle de frottement interne est donnée par le produit du rapport des longueurs de trajet C et du rapport de l'amplitude des forces égal à 1, ou

L'équation (13) représente une situation où l'amplitude du rapport de force B est négligeable par rapport à l'amplitude du rapport de trajectoire C. L'angle de frottement interne des particules est alors défini indépendamment de l'effet de force et dépend du déplacement de les particules pour les systèmes de particules.

Le travail dissipatif proportionnel peut être exprimé par la tangente d'un angle φ :

où les deux paramètres sont non nuls. La solution est compliquée car le rapport des amplitudes de force et le rapport des longueurs de déplacement sont des fonctions complexes de nombreuses quantités physiques et la solution est soumise à la définition de tâches de contact compliquées, dont la solvabilité est toujours déterminée par le degré d'optimisation de modèles mathématiques dans le calcul de solutions spécifiques.

Le modèle de frottement interne des particules est basé sur les contacts de forme de base des particules et les différences de distance entre les particules de ces contacts de forme. Le premier groupe T11–T15 (Fig. 4) est caractérisé par le fait que la particule active "tourne" la particule passive22. Le deuxième groupe T21-T25 (Fig. 4) est caractérisé en ce que les particules actives déplacent les particules passives. La figure 4 montre la position initiale et finale de la particule des mouvements de particules individuelles.

Positions initiale et terminale des déplacements T11–T15 et T21–T25.

La valeur de Δz représente la trajectoire maximale possible de la particule dans la direction verticale ainsi que la différence de hauteur de la position de la particule. Le calcul a été effectué comme la différence entre les valeurs de hauteur maximale et minimale pour les déplacements T11 à T15 que le contour sphérique de la particule peut effectuer (Eq. 15). Pour les décalages T21–T25, la valeur de Δz est directement égale à la hauteur maximale (Eq. 16). La valeur de Δx représente le déplacement de la particule dans la direction horizontale pour que la valeur maximale de Δz soit toujours atteinte. Chaque déplacement est spécifique dans sa propre combinaison de valeurs Δz/Δx et est indépendant du paramètre R du rayon des particules (tableau 1). Le tableau 2 montre ensuite les rapports de travail dW1 et dW2, ou valeur tan(φ) et angle de frottement interne des particules φ.

Avec la même probabilité d'atteindre le nombre n de déplacements individuels, l'angle probable moyen de frottement interne des particules φc peut être exprimé par l'Eq. (17). Le coefficient kTij représente la probabilité de déplacement individuel T11–T15 et T21–T25. Dans notre cas modèle, kT11–kT25 est égal à la valeur 1 et après avoir atteint φc = 39,2°.

En raison de sa cristallisation stable dans un système cubique et de la possibilité d'insérer une forme cristalline dans une sphère, un matériau cristallin sec sous forme de sel de NaCl a été choisi (Fig. 5). La distribution granulométrique a été mesurée sur les appareils Camsizer Retch et Cillas 1190. Le tableau 3 montre les valeurs granulométriques mesurées. La désignation des échantillons de sel est la même que sur la Fig. 5.

Vue des grains des échantillons de sel mesurés, (a) sel iodé comestible, (b) sel naturel pur, (c) sel marin fin, (d) sel marin à gros grains, (e) sel fin sicilien, (f) sel de mer déshydraté, (g) sel de mer côtier fin, (h) sel de Sicile à gros grains, (i) sel de pierre comestible, (j) sel de mer à gros grains italien.

La mesure du frottement interne a été réalisée sur un Ring Shear Tester RST-01.pc. La charge normale pour le pré-cisaillement a été fixée à 20, 10, 5 kPa. Les charges normales individuelles ont été mesurées dix fois. La valeur mesurée la plus basse de la charge normale pour le cisaillement a été fixée à 10 % de la charge normale pour le pré-cisaillement et le nombre de niveaux de contrainte était de 6.

L'angle de frottement interne à un écoulement en régime permanent φsf a été moyenné à la fois pour la charge normale partielle pour le pré-cisaillement (20, 10, 5 kPa) et pour ces trois contraintes de chaque échantillon de sel. La valeur résultante de φsfC a ensuite été obtenue en faisant la moyenne de toutes les valeurs de φsf. Cet angle caractérise le frottement interne à l'écoulement en régime permanent dans le plan de coupe (frottement solide en vrac/solide en vrac)3,7. Le tableau 4 résume les valeurs de φsf mesurées.

La figure 6 montre un aperçu des données expérimentales φsf traitées dans une distribution gaussienne pour des échantillons de sel individuels, mais aussi dans leur ensemble comme pour un ensemble d'échantillons de sel φsfC. De plus, l'angle probable moyen dérivé de frottement interne des particules φC est indiqué ici. Puisqu'il n'y a pas de superposition parfaite de ces deux valeurs, on peut conclure que la probabilité des déplacements individuels considérés n'est pas uniforme ou la même que celle considérée dans le modèle, mais tend à un certain déséquilibre.

Distribution gaussienne φsf pour les échantillons individuels, pour l'ensemble des échantillons φsfC et angle probable moyen de frottement interne des particules φC.

L'article introduit le principe de description du frottement interne des particules à l'aide d'un modèle probabiliste des déplacements de forme des particules. Une relation a été trouvée entre le modèle des angles de forme du frottement interne des particules et l'angle de frottement interne des particules déterminé expérimentalement à un écoulement constant. La formation du déplacement des particules et l'équilibre du frottement interne sont basés sur des changements dans les positions des particules par rapport aux changements environnementaux dans leurs positions.

La nature du mouvement des particules individuelles et de leurs ensembles dans le corps de matière particulaire implique que la réalisation du mouvement dépend de l'autonomie de mouvement des particules individuelles et de leurs amas. L'autonomie de mouvement des particules individuelles permet de caractériser les capacités d'écoulement des matériaux en vrac non cohésifs.

Le modèle présenté dans cet article est basé sur la description des propriétés du mouvement de la matière :

les particules peuvent changer leur position en fonction des contacts de forme qui définissent les conditions de leur mouvement

la façon dont les particules changent de position est le facteur dominant caractérisant la matière en termes de travail de dissipation nécessaire pour réaliser ces mouvements

la manière dont les particules changent de position détermine l'intensité énergétique du système de masse et donc la taille de l'angle de frottement interne des particules

avec la même probabilité de tous les déplacements de particules, l'angle probable moyen de frottement interne des particules est de 39,2°.

Le modèle présenté permet à la fois l'interprétation des valeurs mesurées de l'angle de frottement interne et l'application des valeurs mesurées dans le domaine des simulations de modèles de masse et de processus mécaniques.

La trajectoire des particules en mouvement de matière particulaire ne dépend pas toujours directement des forces externes exerçant un travail mécanique. Le frottement interne peut être compris comme une mesure de perte de travail et l'angle de frottement interne comme un rapport de perte de travail. Le travail effectué, c'est-à-dire le produit scalaire de la force externe et de la trajectoire des particules, est le produit de deux grandeurs indépendantes. La force externe est fonction des entrées externes et les trajectoires sont fonction de la position des particules (configuration des particules) avant le mouvement et des changements de leurs positions pendant le mouvement.

Les particules actives ont généralement deux façons de modifier leur position par rapport aux particules environnantes. La première façon est que les particules actives ne poussent pas les particules passives hors de leurs positions, mais se déplacent autour d'elles. La deuxième méthode est que les particules actives poussent les particules passives hors de leurs positions et occupent la position d'origine des particules passives.

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Cet article a été réalisé dans le cadre du projet Technologie de fabrication innovante et additive – nouvelles solutions technologiques pour l'impression 3D de métaux et de matériaux composites, reg. Non. CZ.02.1.01/0.0/0.0/17_049/0008407 financé par Structural Founds of Europe Union et de la subvention SGS n° SP2021/55, Faculté des mines et de géologie, VSB—Université technique d'Ostrava, République tchèque.

VSB-TU Ostrava, CEET, ENET Centre, Bulk Solids Centre, 17 15 novembre, 708 00, Ostrava, République tchèque

Jiri Zegzulka, Jan Necas, Jiri Rozrozz & Lucie Jezerska

Département de génie minier et de sécurité, Faculté des mines et de géologie, VSB-TU Ostrava, 17. listopadu 15, 708 00, Ostrava, République tchèque

M. Zegzulka, M. Necas, M. Rosebroj et Daniel Gelnar

Département d'ingénierie mécanique, chimique et de conception industrielle, Université polytechnique de Madrid, Ronda de Valencia 3, 28012, Madrid, Espagne

Alvaro Ramírez-Gomez

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Tous les auteurs ont lu et accepté la version publiée du manuscrit. JZ a découvert les mécanismes. JR a écrit le texte principal du manuscrit. LJ et JN ont corrigé le texte. JZ, DG et LJ ont conçu les expériences. DG, JR a effectué les expériences. DG, JR et AR-G. analysé les données.

Correspondance à Lucie Jezerska.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Zegzulka, J., Necas, J., Rozrozz, J. et al. Modèle d'angle de frottement interne des particules. Sci Rep. 12, 2036 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-05891-8

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Reçu : 13 septembre 2021

Accepté : 13 janvier 2022

Publié: 07 février 2022

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-022-05891-8

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